非线性动力学之梦幻射门和猛虎式射门——即足球运动轨迹

admin 足球录像 2024-02-12 64浏览 0

　　系列文章动机：本人借社交平台发表网络文章的契机，希望向广大读者传递一种本人个人的、不完全成熟的价值观：“广义上人类的科学地、深入地学习与研究活动，狭义上的学术研究，不仅能够应用在特定的目标事物上，同时也必然会与其他事物产生内在的、不可分割的联系。就算用最功利的观点来衡量，对人类全通体来说，学术研究会提高社会的总福利，即使很大一部分研究目前并没有明朗的应用前景；对个人发展来说，学术研究会使一个人看待事物更加深刻，即使该事物并不是特定个人所从事的特定专业。”例如，学习微积分，并不能让你掌握接电线修灯泡的技能，但它却能够赋予你看懂麦克斯韦方程组的能力；而这个大名鼎鼎的微分方程组（也可以写成积分形式），是所有与电有关的学科的基石。再如，van der Pol oscillator的意义，绝不仅局限于表达真空管电路；其实自然界和人类社会中，有很多现象都可以用这个经典模型来描述。说到本人所从事的船舶与海洋工程专业，其中有个流经杆结构的涡旋剥离的动力学方程，就可以用van der Pol oscillator，这个最初由电磁学领域提出的模型来描述[1]。PS：既然说到van der Pol方程，就不得不提到另一个比van der Pol oscillator应用得更广泛的非线性动力学经典模型——Duffing equation大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。不熟悉这个模型的小伙伴可以通过下方传送门去看看先（不要忘记转评赞哦）：RiskSeeker Xu：用MatCont分析非线性动力学方程组（二）

　　本文正文：

　　0.引语

　　日本动画足球小将·大空翼当年风靡亚洲，成为不少人的童年记忆、少年记忆或青春回忆。多少男孩子每天都在模仿男主小翼的梦幻式射门和男二松仁的猛虎式射门。大家知道梦幻式和猛虎式的原理么？图1. 小翼和松仁

　　看完这篇文章，你会找到答案。

　　1.运动学基础足球的运动轨迹，是一个空间三维问题。但基于物理过程的理论考量（重力仅在z分量上起作用）和足球运动的现实考量（球员都在地面活动、踢球靠脚等），可以将足球的运动轨迹问题分成两类，即垂向运动和水平运动，分别讨论。然后再将两者综合起来，还原整个问题的全貌。

　　2.动力学基础足球被人作用后，以初始线速度 u_0 和角速度 $\omega_0$ 在空中的运行，过程中收到三个力的作用，即重力 F_G 、升力 F_L 和拖曳力 F_D 。其中重力最简单，其方向（垂直地面向下）和大小（ $F_G=\rho_b \frac{4}{3}\pi R^3$ ）都不变大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。升力和拖曳力都是由空气动力造成，其中升力由相对的两个表面收到的压力差所导致， $F_L=2C_L\rho\pi R\omega_0u_0$ ；而拖曳力是阻力， $F_D=\frac{1}{2}\rho C_D\pi R^2u_0^2$ 。正常的情况下，球在空气中运动线速度范围一般为 20<u_0<60 ，对应的雷诺数约为 10^4<Re<10^6 。当 $Re\approx 10^5$ 时，升力系数 $C_L\approx0.1$ ，拖力系数 $C_D=\approx0.4$ 。

　　3.相图分析为简化分析、突出物理上的关键因素，巴黎综合理工学院的研究者们，在国际知名期刊Journal of Fluids and Structures上，发表了一篇十分有趣的论文Football curves[2]，用无量纲化的二相空间来对足球的运动轨迹进行分析与归类。定义拖数 D_r 与旋数 S_p : $D_r=\frac{3}{8}C_D\frac{\rho}{\rho_b}\frac{u_0^2}{\mathrm{g}R}$ 和 $S_p=\frac{R\omega_0}{u_0}$ 。当拖数 D_r<1 时，初速度 U_0 都很小，在这个范围内，空气动力对足球运动的作用几乎为零。当 D_r>1 时空气动力影响越来越大。 D_r=1 是一个关键的评价指标，可以以此计算关键速度 $u^*\equiv\sqrt{\frac{8\rho_b\mathrm{g}R}{3\rho C_D}}\approx20\,\mathrm{m/s}$ 。图2. 不同足球运动曲线的相图

　　一般来说，手抛球速度都很小，在 D_r<1 的范围内。而有较高射门水平的职业足球运动员踢出去的长距离求或射门，速度都在 D_r>1 的范围内；其中射门尤其是任意球射门，可以达到很高的初始速度，即很大的拖曳数。当 D_r<1 时，足球的运动几乎不受空气动力的影响。换句话说，多数手抛球，以及我们这些非专业运动员玩足球时提出的“软踏踏”的长传，在水平方向上不会改变方向，即保持直线；在垂直地面方向上，服从简单的二次抛物线。此类足球运动轨迹简单，不再展开讨论。当 D_r>1 时，空气动力对足球的运动影响越来越大。根据出球时皮球的旋转程度，会形成不同的轨迹。当 D_r>1 且 S_p<1 时，足球像炮弹一样，在初始时被“直勾勾”地打出去。后面由于空气动力的影响，如果是后场“大脚”开球，几乎所有球都会落在中场圈附近，原理见第4节情况一。如果是射门，就会出现动画中松仁的猛虎式射门！原理见第5节情况二。当 D_r>1 且 S_p>1 时，就会出现贝克汉姆的圆月弯刀，即足球在换出一道美丽的弧线，绕过人墙后再向内拐回来，最终打入门将难以够到的“死角。原理见第6节情况三。至于大空翼的梦幻式射门，或曰霸道总裁的电梯球，从空气动力学的角度来说，是最高级的任意球形式。详见第7节情况四。

　　论文的作者列出了一些90年代的、强烈地表现出空气动力学性质的、著名的大力射门，见下表（知乎竟然不能用table环境，只能用公式的array环境！这会带来诸多不便，例如不能给表格编号、需要用很多rm命令等。强烈要求知乎改进！）。 $\begin{array}[h] {ccc} \hline{\rm Player} & u_0\left(\mathrm{m/s}\right) & {\rm Game}\\ \hline \mathrm{David\;Hirst} & 51 & {\rm Sheffield\;vs.\,Arsenal (09/16/96)} \\ {\rm David\;Beckham} & 44 & {\rm Man\;Utd\;vs.\,Chelsea (02/22/97)} \\ {\rm David\;Trezeguet} & 43 & {\rm Monaco\;vs.\,Man Utd (03/19/98)} \\ {\rm Richie\;Humphreys} & 42.8 & {\rm Sheffield\;vs.\,Aston\;Villa (08/17/96)} \\ {\rm Matt\;Le\;Tissier} & 39 & {\rm Southampton\;vs.\,Newcastle (01/18/97)} \\ {\rm Alan\;Shearer} & 38.3 & {\rm Newcastle\;vs.\,Leicester (02/02/97)} \\ {\rm Roberto\;Carlos} & 38.1 & {\rm Brazil\;vs.\,France (06/03/97)}\\ \hline \end{array}$

　　4.情况一： D_r>1 且 S_p<1 ，长传（Tartaglia曲线）当出球速度较大且仰角较大、飞行距离较长时，皮球同时受到重力和空气动力的影响。其控制方程为 $M\frac{\mathrm{d}\bm{u}}{\mathrm{d}t}=M\mathrm{g}-\frac{1}{2}\rho C_D\pi R^2u\bm{u}$ 此方程为一阶二次常微分方程，自变量是时间，因变量是随时间变化的速度 $\bm{U}$ 。初始条件是 $\left|\left|\bm{u}\left(0\right)\right|\right|=u_0\;{\rm with}\;\alpha=\arctan\left(\frac{u_y}{u_x}\right)$ $x\left(0\right)=0\;\mathrm{and}\;y\left(0\right)=0$ 这个非线性动力学方程可以由扰动法得到近似解： $u\left(s\right)=u_0\mathrm{e}^{-\frac{s}{\mathcal{L}}}$ 这里是皮球飞行距离， $\mathcal{L}$ 是特征距离。长传时， $s\sim\mathcal{L}$ ，所以在飞行后半段速度会呈指数下降；射门时， $s\ll\mathcal{L}$ ，所以大力抽射时球速几乎不变。此方程也可以做用计算机做数值积分来解。当然，还可以使用非线性动力学专用分析工具MatCont来解，不熟悉该工具的同学可以通过以下传送门去康康（不要忘记转评赞哦）。RiskSeeker Xu：用MatCont分析非线性动力学方程组（一）

　　最终结果显示，从侧面看皮球在垂向的运动轨迹，不再是一条类抛物线，而是炮弹曲线，如图3所示。图3. 大脚开球时足球的运动轨迹

　　图中两条实线是考虑重力和空气动力学共同作用的轨迹，其中粗实线是发球仰角 $\alpha=45^{\circ}$ ，细实线 $\alpha=37^{\circ}$ 。虚线是只考虑重力作用的轨迹，仰角与粗实线仰角一致， $\alpha=45^{\circ}$ 。可以看出，拖曳力及大地限制了皮球飞行的距离和高度。在皮球飞出一段距离以后，会因为空气动力的影响而下坠。这也就是门将在己方球门附近大脚开球后，皮球都会落座中场圈附近，而极少见会落入对方禁区的原因。而且，由于受到阻力而下坠，与地面的角度会更大，这也就为何大脚开球后，皮球落地时都像是垂直掉下来的，而不是向前飞过来的。这个效应，在羽毛球的飞行上表现得更加明显。Tartaglia曲线在高速球体运行轨迹上的应用，其实早已经被广泛而深入的研究过，已经取得了被学术界广泛接受的近似解和数值解。该论文没有很好的解释这个过程，感兴趣的小伙伴可以参见其他论文，例如[3]。

　　5.情况二： D_r>1 且 S_p<1 ，射门（不规则Z形曲线）当大力抽射时，球的初始线速度 U_0 很大，旋转很小。而且由前面第5节情况一的论述可知，大力抽射时球的飞行速度会几乎保持在初始速度。在此情况下，足球主要受到 F_D 的作用，几乎没有 F_L 。加之考虑距离短，由重力作用的下降不明显，所以皮球大体上会呈直线向前飞行。然而，空气的拖曳力是不稳定的。在抽射情况下，雷诺数在 $10^4<Re<5\cdot10^5$ 空气流经球体后，尾流不对称，涡旋剥离的频率会随Re，也就是球的线速度略微增长。这样就会产生作用在足球上的侧向力[4]。由于这个侧向力是快速变化且随机的[5]，所以总体上足球会沿直线飞行。高速飞行的球体的尾流如图4[6]所示：图4. 足球飞行轨迹。(a) 直线； (b) Z型

　　由于侧向力的存在，任何微小的扰动都会对皮球飞行轨迹造成较大的影响。这就造成了本来沿直线飞行的足球，会围绕其原有飞行轨迹变得飘忽不定。棒球运动中，有类似的现象被称作knuckleball效应[7]。在射门时，集中全部力量踢在球的正中，使球不加旋转地弹出去，就有可能（不一定）出现knuckleball效应。从守门员角度来看，足球忽上忽下，忽左忽右，向春丽的百裂腿一样飞过来，难以扑救。这就是松仁猛虎式射门的精髓所在。图5. 松仁的猛虎式射门

　　但是侧向力并没有被研究透彻，该论文中提及了一些文献，有点认为侧向力仍与旋转有关，有的认为球表面不完美造成比较大的扰动等。后来有实验证明，knuckleball效应在球形物飞行时广泛存在，只不过多数球类运动中，knuckleball效应太小，小到不足以被观察到。其实我个人是很相信这个实验结论的，逻辑是：高速飞行的球体必然有涡旋剥离的尾流——不完美的球型和球表面必然会实时产生扰动——达到某些条件时（例如高速高雷诺数）就会使球偏离直线轨道——偏离的大小又与尺寸、密度比、飞行距离、实时变化的速度有关——虽广泛存在、但产生大偏离的条件苛刻——现实中不容易观察到。图6[8]显示了Z型轨道的原理和表现。图6. 猛虎式射门的不规则Z型曲线

　　6.情况三： D_r>1 且 S_p>1 这种情况，就是所谓的搓射。提出这样的球，要求线速度 u_0 和角速度 $\omega_0$ 都很大。而飞行距离都比较短。在垂向上，Tartaglia曲线下坠段不明显，大致上可以认为在垂向上呈直线飞行，即可以忽略重力作用。在水平面上，足球飞行轨迹同时受到 F_D 和 F_L 的作用。在Frenet-Serret坐标系下，其运动方程可以写成： $Mu\frac{\mathrm{d}\bm{u}}{\mathrm{d}s}\bm{t} + Mu^2\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\bm{n} = - \frac{1}{2}\rho u^2SC_D\bm{t} + \rho R^3\omega_0uC_\omega\bm{n}$ 这个方程很容易decomposite成切向和法向两个方程。

　　在 $\bm{t}$ 方向上，可以得到与第5节情况二相同的结果，即 $u\left(s\right)=u_0\mathrm{e}^{-\frac{s}{\mathcal{L}}}$ 近距离射门时（例如点球和其他禁区内射门），切向速度基本不变；中距离和远距离射门时（例如远射和禁区外任意球），切向速度速度在足球飞行的后期有所减弱。在方向上，得到角度随飞行距离的变化的表达式 $\theta \left( s \right) ={\frac {L}{L_{s}}{{\rm e}^{{\frac {s}{L}}}}}$ 可以看出，随着的增加，偏转角度越来越大，呈指数增长。近距离射门时（例如点球和其他禁区内射门），角度变化很小，在水平面上看来几乎是一条直线。中距离射门时（例如禁区边缘的远射和任意球），角度会产生一定变化；变化速率近似线性，飞行轨迹类似于一段圆弧。远距离射门时，会产生很大的弧度，越接近飞行末端角度变化得越快。1997年，法国四国邀请赛的法国对阵巴西的比赛中，罗伯特·卡洛斯罚进的任意球就是远距离大理弧线球的典型例子，见图7。其他任意球大师的杰作，也都是利用了这个原理。图7. 罗伯特·卡洛斯的任意球解析

　　其他任意球大师，如圆月弯刀的小贝，还有贝隆、小儒尼尼奥，小罗、齐祖，梅西等，主罚的弧线球也都是利用了上述原理。与卡洛斯这个任意球的不同之处在于，其他人（尤其贝隆和小儒尼尼奥），出球旋转不仅在水平方向上，而是旋转轴是斜的，即旋转在水平和竖直方向上都有分量。其中竖直方向上弧形轨道与Tartaglia曲线共同作用，使皮球在竖直方向下降更快。这样的三维弧线更加漂亮，但限制了球的飞行距离，不适合元距离射门。

　　7.情况四，大空翼梦幻射门图8. 大空翼的梦幻射门

　　动画中大空翼的梦幻射门，是出脚大力射门后，足球先上升，快到门前时再极速下降。下降比上升快很多，下降时往前飞的距离远小于刚出脚上升时的距离。也就是球迷们说的电梯球。这个过程看起来和Tartaglia曲线相似。但是，不能以简单地用第4节情况一来解释。因为按照情况一的公式计算，足球急速下降本应该多往前飞一段距离。而电梯球，比情况一更早更快地出现了下降。目前电梯球的原理仍然是个谜，没有得到广泛认可的解释。有的解释是将情况一（Tartaglia曲线）和情况二（Z曲线）结合，认为是扰动推着足球提前下坠。这个解释的物理上弱点在于，扰动是随机的，不能保证一定向下。还有的解释是将情况一（Tartaglia曲线）和情况三（旋转）结合，认为是切向与重力方向重合加剧了下坠。这个解释在物理上说得通，但是实际中用脚踢球，很难只在竖直方向加旋转转而水平方向不旋转。

　　正因为无法解释，电梯球才成为了任意球技巧中的王者。目前最著名的电梯球，应当是霸道总裁C罗，在2018年世界杯小组赛中，最后时刻绝平西班牙的任意球，及文章头图的那记世界波。

　　8.结论

　　基于本文的分析，我们可以得到如下结论：基于拖数 D_r 和 S_p 旋数的相空间可以高效区分足球飞行的轨迹，对应的分析过程都有严格的物理理论做支撑想踢出好球，就得锻炼大腿力量，只有踢出 $u_0>20\mathrm{m/s}$ 的球，奇迹才有可能发生。霸道总裁是现实中的大空翼，大家请自觉将C罗的射门称为“梦幻射门”。